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初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题

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初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题 (120 分,100 分钟) 一、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1.下列运算正确的是( ) A. 1 1 2   a b ab B.a÷b× D. 3 1 1 =a b 1 3 C. x y  1 yx  2.若等腰三角形有两条边的长分别是 3 和 1,则此等腰三角形的周长是( ) A.5 B.7 C.5 或 7 D.6 3. 若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如 a  b  c 就是完全对称式. 下列四个代数式: ① abc ; ② ab  bc  ca ; ③ a 2b  b 2 c  c 2 a ; ④ a  b .其中是完全对称式的是( 2 ) D.①②③ ) D.  2013 A.①②④ B.①③ C.②③ 4.若 x 2  x  2  0 ,则 x 3  2 x 2  x  2012的值是( A. 2014 B. 2013 C. 2014 ) 5.若 n 为整数,则能使 n 1 也为整数的 n 有( n 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.〈湖北仙桃〉如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,BC=6 cm,AB 的垂直平分线交 BC 于点 M, 交 AB 于点 E, AC 的垂直平分线交 BC 于点 N, 交 AC 于点 F, 则 MN 的长为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 图1 图2 图3 7.如图 2 所示,在直角三角形 ABC 中,已知∠ACB=90°,点 E 是 AB 的中点,且 DE⊥AB, DE 交 AC 的延长线于点 D、交 BC 于点 F,若∠D=30°,EF=2,则 DF 的长是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 8.如图 3 所示,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合) ,在 AE 同侧分别作正△ABC 和 正△CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连接 PQ.以下 四个结论:①△ACD≌△BCE;②AD=BE;③∠AOB=60°;④△CPQ 是等边三角形.其中 正确的是( ) A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②③ 二、填空题(每题 3 分,共 24 分)

图1

9.因式分解: a 3  6a 2  9a =___________. 10.计算:  2014    0 1 2014 =___________.   1  2 1 11.按图 4 所示程序计算: a →×2 →  a 2 →÷a →  a →结果 图4 请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简:_________. 12.如图 5,将△ABC 纸片沿 DE 折叠,图中实 线围成的图形面积与原三角形面积之比为 2∶3, 若图中实线围成的阴影部分面积为 2,则 重叠部分的面积为__________. 图5 13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若 点 P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别 是__________. 14.在平面直角坐标系中,A(2,0) ,B(0,3) ,若△ABC 的面积为 6,且点 C 在坐标轴上, 则符合条件的点 C 的坐标为___________.  4 关 15.如图 6 所示,在平面直角坐标系中,点 A(2,2)关于 y 轴的对称点为 B,点 C  2, 于 y 轴的对称点为 D.把一条长为 2 014 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计) 的一端固定在点 A 处,并按 A→B→C→D→A→„的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上,则细 线另一端所在位置的点的坐标是__________. 图6 图7 16. 如 图 7 的 钢 架 中 , 焊 上 等 长 的 13 根 钢 条 来 加 固 钢 架 . 若 AP 1  P 1P 2  P 2P 3  P 13 P 14  P 14 A ,则∠A 的度数是________.

图2

三、解答题(17、18 题每题 5 分,23、25 题每题 9 分,24 题 8 分,26 题 12 分,其余每题 6 分,共 72 分) 17.如图 8 均为 2×2 的正方形网格,每个小正方形的边长均为 1.请分别在两个图中各画出 一个与△ABC 成轴对称、顶点在格点上,且位置不同的三角形. 图8 18.如图 9,△ABC 中,∠A=40°,∠B=76°,CE 平分∠ACB,CD⊥AB 于 D,DF⊥CE 交 CE 于 F,求∠CDF 的度数. 图9 19.在解题目: “当 a=2 014 时,求代数式 a2  4  1   1    a  1 的值”时,小明认为 a a 3  a 2 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果,你认为他说的有道理吗?请说明理 由. 20.已知 M= 4x  12xy  10y  4 y  9 ,当式中的 x 、y 各取何值时,M 的值最小?求此 2 2 最小值.

图3

21.是否存在实数 x ,使分式 若不存在,请说明理由. 5x  4 4 x  10 的值比分式 的值大 1?若存在,请求出 x 的值; x2 3x  6 22.如图 10 所示,AB∥DC,AD⊥CD,BE 平分∠ABC,且点 E 是 AD 的中点,试探求 AB、 CD 与 BC 的数量关系,并说明你的理由. 图 10 23.如图 11,某船在海上航行,在 A 处观测到灯塔 B 在北偏东 60°方向上,该船以每小时 15 海里的速度向东航行到达 C 处,观测到灯塔 B 在北偏东 30°方向上,继续向东航行到 D 处,观测到灯塔 B 在北偏西 30°方向上,当该船到达 D 处时恰与灯塔 B 相距 60 海里 (1)判断△BCD 的形状;. 图 11 (2)求该船从 A 处航行至 D 处所用的时间; (3)若该船从 A 处向东航行 6 小时到达 E 处,观测灯塔 B,灯塔 B 在什么方向上?

图4

24.某地为某校师生交通方便,在通往该学校原道路的一段全长为 300 m 的旧路上进行整修 铺设柏油路面.铺设 120 m 后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工 效比原计划增加 20%,结果共用 30 天完成这一任务. (1)求原计划每天铺设路面的长度; (2)若市政部门原来每天支付工人工资为 600 元,提高工效后每天支付给工人的工资增长了 30%,现市政部门为完成整个工程准备了 25 000 元的流动资金.请问,所准备的流动资金 是否够支付工人工资?并说明理由. 25.如图 12 所示,已知△ABC 中,AB=AC=10 厘米,BC=8 厘米,点 D 为 AB 的中点. 图 12 (1) 如果点 P 在线段 BC 上以 1 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时点 Q 在线段 CA 上 由 C 点向 A 点运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 3 秒后,△BPD 与△CQP 是否全等?请 说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等, 当点 Q 的运动速度为多少时, 能够使△BPD 与△CQP 全等? (2)若点 Q 以(1)②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发, 都逆时针沿△ABC 三边运动, 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇?

图5

26.数学课上,老师出示了如下框中的题目, 在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上, 点 D 在 CB 的延长线上,且 ED=EC, 如图 13,试确定线段 AE 与 DB 的数量关 系,并说明理由. 图 13 小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论 当点 E 为 AB 的中点时,如图 14(1) ,确定线段 AE 与 DB 的数量关系,请你直接写出结论: AE______DB(填“>” “<”或“=” ) . 图 14 (2)特例启发,解答题目 解:题目中,AE 与 DB 的数量关系是:AE______DB(填“>” “<”或“=” ) ,理由如下: 如图 14(2) ,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题 在等边三角形 ABC 中,点 E 在直线 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC,若△ABC 的边 长为 1,AE=2,求 CD 的长. (请你直接写出结果)

图6

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